SOLUÇÕES

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O Caracol... as Pombas... O caracol e o poço O gavião e as pombas As galinhas das vizinhas Confusão de oitos A Pá e o lixo

O Cubo A Idade de Diofante Geometria em Equilíbrio

Título – O Caracol... as Pombas...

1 – O caracol e o poço

Se durante o dia, o caracol sobe 3 metros e desce 2 é porque progride 1 metro diariamente. Poderão os mais desprevenidos ser levados a ajuizar que como o poço tem 10 metros o caracol demoraria 10 dias, mas existe uma pequena “ratoeira”. Na verdade o caracol só demorou 8 dias a atingir o bordo superior do poço.

Vejamos:

1º dia ---- 1 metro

2º dia ---- 2 metros

...

5º dia ---- 5 metros

7º dia ---- 7 metros

8 dia ---- 7 + 3 da subida matinal = 10 metros

Como atingiu o cimo já não necessita de descer.

 

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2 – O gavião e as pombas

Consideremos x como o número de pombas que iam no bando e traduzamos matematicamente as expressões usadas.

nós - x

outras tantas como nós - x

metade de nós – x / 2

a quarta parte de nós – x / 4

gavião – 1

total de aves – 100

Traduzindo por uma equação numérica teremos:

 x + x + x / 2 + x / 4 + 1 = 100

Resolvendo

2 x + x / 2 + x / 4 + 1 = 100

8 x + 2 x + x + 4 = 400

11 x =396

x = 396 / 11

x = 36

O número de pombas que iam no bando era de 36.

 

Por tentativas também lá se chega facilmente se atentarmos que o número terá que ser PAR e DIVISÍVEL por 4. Terá também que ser inferior a 40 e depois será escolher o tal número que satisfaça as condições.

 

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3 – As galinhas das vizinhas

 

Consideremos x o número maior de galinhas e, logicamente, y como o menor.

Na primeira condição do problema, x “ganha 1” e fica (é igual a) com o dobro de y que “perde 1”.

x + 1 = 2 (y –1)

 

Na segunda condição

x “perde 1” e fica com as mesmas (é igual a) de y que “ganha 1”.

x - 1 = y +1

Temos então o sistema de equações a duas incógnitas

x + 1 = 2 (y –1)	x + 1 = 2y - 2	---------	y + 2  + 1 = 2y - 2	y - 2y  = - 2 - 3	- y  = - 5	y  =  5
x - 1 = y +1	x  = y + 1 + 1	x  = y + 2	-----------	-----------	-----------	x  =  7

Uma das vizinhas tem 5 galinhas e a outra 7 galinhas

 

Para resolver sem o sistema teríamos que partir do pressuposto que as galinhas teriam de ser números “pares” ou “ímpares” consecutivos para se verificar a igualdade da segunda condição.

Não poderiam ser pares, porque ao somar uma unidade a um número par este fica ímpar e jamais um número ímpar é dobro de um número (primeira condição)
Por outro lado, entende-se facilmente que os valores têm de ser os menores possíveis.

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Título – Confusão de oitos

888 + 88 + 8 + 8 + 8  = 1 000

Título – A Pá e o lixo

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Título – O Cubo

1 – Teremos 8 cubinhos pintados com branco, vermelho e verde.
2 – Teremos 4 cubinhos pintados unicamente de verde e vermelho.
3 – Teremos 2 cubinhos pintados só com a cor branca.
4 – Teremos só 1 cubinho que não tem qualquer face pintada (cubinho central).

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Título – A Idade de Diofante

x – será a idade de Diofante
a equação que traduz o problema ficará então definida por
x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x
resolvendo
x/6 + x/12 + x/7 + x/2 – x =  –9     mmc (2,6,7,12) = 84
14 x + 7 x + 12 x + 42 x –  84 x =  –756
75 x – 84 x = –756
– 9 x = –756
9 x = 756
x = 756 / 9
x =  84

Sem nos socorrermos da equação teríamos que partir da premissa que a idade de Diofante teria que ser divisível, simultaneamente, por 7 e 12 (a sétima e duodécima partes) e o primeiro número que satisfz essa condição é 84

Diremos então que Diofante faleceu com 84 anos.

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Título – Geometria em Equilíbrio

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Neves, AJ | abril 1, 2004 08:50 AM | Voz do Seven 2 | Voz no SAPO.pt